על המטר

המטר הוא אמת המידה הנוכחת בכל, לא רק במדידת אורך. הקילו והטון מטריים – הטון הוא משקל מים בקובייה שכל פאותיה במידה של מטר. גם הקלוריה מטרית – כמות האנרגיה הדרושה לחמם סמ"ק (מטרי) של מים במעלה אחת. כוח סוס? מטרי. אורכי גל? מטריים. כדי שמטוס סילוני יעוף, עליו לשאת עומס כנף של מעל 400 ק"ג למ"ר. המטר צץ בכל מקום שנדרש לתאר גיאומטריה כלשהי, וביחד עם השעה (שמפורקת לדקות ושניות) – המידות האלו מתארות את הזמן-מרחב כמימדי היקום.

במבט פשטני והיסטורי, המטר עצמו הוא בחירה שרירותית ומלאכותית – האמריקאים, לדוגמה מסתדרים עם השיטה ה"קיסרית" של רגל, אינצ', פרנהייט וכו'. בתנ"ך היו האמה, הטפח, והסיאה, ומן הסתם לכל תרבות היו מידות כלשהן לזמן-מרחב (ימי הליכה, גובה אדם וכו). המטר הוא אפוא המצאה מודרנית וחדשה, פרי הגדרה של וועדת מומחים שהתכנסה לעניין זה בצרפת בסוף המאה ה 18. ב 1875 המטר קיבל כבר תוקף בינלאומי ב"ועדת המטר" בברלין, שם הוכר כמידה הסטנדרטית לאורך. מאז היו עוד עדכונים כפי שהתחייב מהשיפור בטכנולוגית המדידה. עד כאן פשוט, לא?

ציור של הועדה המקורית בצרפת בה נקבע אורך המטר באמצעות מוט מתכתי' וצילום מוט המטר.

עבור הבונה החופשי המטר הוא תעלומה מרתקת שמכילה את כל מה שאנחנו אוהבים: הנדסה, פיזיקה, מתימטיקה, פילוסופיה וגם קונספירציות, היסטוריה, שמות של מפורסמים, ואיך אפשר בלי – פירמידות. אז נזכיר במהירות כמה מהפרטים הטכניים – כדי להגיע לקטעים שבאמת מעניינים אותנו.

כאמור, המטר כל כך טבעי ושגרתי בחיינו שאנחנו מתקשים להבין את גדולת הרעיון שמאחוריו: מיפוי ומדידת הטבע באופן אחיד ומדויק. אחד הנסיונות הראשונים להגדיר אמת מידה אוניברסאלית היה על ידי הכומר והפילוסוף האנגלי ג'ון וילקינס. בשנת 1668 הנ"ל פרסם מאמר ובו הוא מציע שפה אחידה וחדשה לתאר את הטבע, שפה שתהיה מבוססת על ספירה עשרונית. הגאונות של רעיון זה הוא ביישום הפשוט לתיאוריה של ניוטון שפורסמה שנה קודם (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica). כשהטבע מתאים למתימטיקה הכל מתחבר להכל בצורה קלה ואינטואיטיבית. אמת המידה שהציע וילקינס מבוססת על אורך מטוטלת – והמרחק שהיא עושה במשך שניה (לכל צד). בכל אופן, כמה שנים לאחר פרסום המאמר של וילקינס, מדען הולנדי בשם כריסטיאן הייגנז חישב את המרחק שעושה אותה המטוטלת בשניה אחת: 99.7 סנטימטרים.

בתמונה מעל: מידה עשרונית המבוססת על תנועת מטוטלת במשך שניה.

מאה שנים מאוחר יותר, בצרפת שלאחר המהפיכה התכנסו כמה מגדולי המתימיקאים בהיסטוריה והחליטו על הגדרה של אמת מידה חדשה לחברה החדשה. שמה של המידה לקוח מהמילה למדוד ביוונית: מטר. המתימטיקאים הצרפתים לא הולכים בשיטה של וילקינס, ובוחרים להשתמש במידה המבוססת על היקף כדור הארץ: מיתחו קו מהקוטב הצפוני ועד לקו המשווה (דרך פריז, כמובן), וחלקו בעשרה מליון. מדדו, חישבו, חילקו והתוצאה: מטר. איך ייתכן ששיטת המטוטלת ושיטת היקף כדור הארץ מפיקים את אותו אורך? צירוף מקרים. מסוג צירופי המקרים שמעוררים סקרנות ומעודדים הסברים יצירתיים.

נחזור רגע שוב לאותו ג'ון וילקינס מהמטוטלת – הוא היה ממיסדי "החברה המלכותית" (Royal Society) אשר ניסו לממש את חזונו של לורד פרנסיס בייקון, כפי שתואר בספר "אטלנטיס החדשה" (1627). בספר זה (של בייקון) מתוארת ארץ אוטופית שבה מושל הידע המדעי על הדעות הקדומות, ובלב החברה הנאורה והאוטופית הזו מצוי מסדר המוקדש לעיון בצפונות הטבע (מדע). שמו של המסדר: מקדש שלמה.  מצלצל מוכר?

ובצד הצרפתי? בשנת 1796 פולש נפוליאון למצרים, ויחד איתו מגיעים המדענים למצרים. בתוך תקופה קצרה מתחיל המערב לגלות את תפארת העבר, למפות ולמדוד את הארץ, לפצח את כתב החרטומים, וכמובן: להתבונן על הפירמידה הגדולה במישור גיזה. כשהמדענים הצרפתים מגיעים למצרים של המאה ה-18 אין למקומיים מושג מי בנה את הפירמידה הזאת, או לאיזו תכלית. עיון היסטורי בכתבי הקלסיקונים הראה שגם להרודוטס, בן המאה ה 5 לפנה"ס, היו רק השערות. נותר לאותם חוקרים צרפתים רק למדוד את הפירמידות ולנסות להבין כיצד ולשם מה נבנו.

תוך ניסיון להבין את ההישג ההנדסי, אותם מדענים צרפתים גם חישבו את המבנה הגיאומטרי של הפירמידה. באופן ספציפי הם התעניינו במתימטיקה של תכנון הפירמידה. למשל, אם מציירים ממרכז הפירמידה מעגל ברדיוס אורך פיאת בסיס הפירמידה, ומותחים את אותו רדיוס גם כלפי מעלה מתקבל גובה הפירמידה. המצרים יכלו לבנות על בסיסו של אותו ריבוע פירמידה בגבהים שונים, אז מתיחת הרדיוס לגובה, בדיוק של כמה סנטימטרים, איננה מקרית. בשביל להגיע לדיוק כזה, נחוץ חישוב של פאי עד לסדר גודל של כמה ספרות אחרי הנקודה. פרט נוסף: יחס שטח הבסיס לשטח הפיאות הוא φ (חתך הזהב מסדרת פיבונאצ'י). מה עושים המספרים האלוהיים (שמם בתקופת הרנסנס) בפירמידות? ולענייננו (המטר) – במדידה אמפירית, כשלוקחים את אורך צלע הפירמידה, ומפחיתים ממנה את גובהה, התוצאה היא 314.16 מטרים. בואו נזיז את הנקודה ונכתוב את זה כך 3.1416. המספר הזה נראה מוכר, לא? זהו קירוב מרשים לפאי המודרני: 3.14159. בעוד אנו משתאים מהידע המתימטי של תקופת הפרעונים, עלינו לשאול האם המספר הזה היה נראה אותו דבר במידות קיסריות (רגלים ואינצ'ים), והתשובה היא ברור שלא, התוצאה יוצאת יפה כל כך רק במטרים. מטרים צרפתים, כמובן. אם כן, מה עושה המטר הצרפתי בפירמידות העתיקות?

בתמונות: הגיאומטריה של הפירמידות

לכך יכולות להיות כמה תשובות. ראשית, עלינו לבדוק בכלל אם לא היתה כאן כוונת מכוון, כלומר האם המטר לא נבחר מלכתחילה על ידי המדענים הצרפתים כסמל שמתייחס לבונים הקדמונים? במילים אחרות, מדענים אירופים מדדו וחישבו את הגיאומטריה של הפירמידה הגדולה, והגדירו את המטר על פי אותה גיאומטריה. נראה שהתאריכים אינם תואמים וכי מדובר בצירוף מקרים. שוב צירוף מקרים. כשמקרים מרבים להצטרף כך, כדאי לתת את תשומת ליבנו לאישים שהיו מעורבים בתהליך.

בתמונה: נפוליאון חונך את המכון לחקר מצרים בקהיר, 1798

למשל, לגנרל הצרפתי קלבר (Jean-Baptiste Kléber), אשר פיקד עבור נפוליאון על קרבות היבשה לכיבוש מצרים ב 1798 – 1799, נשאר כמפקד הכוחות הצרפתים במצרים, והוביל את פריצת המדע הצרפתי אל צפונות מצרים. הגנרל קלבר לא היה בן למשפחת אצולה אלא בנו של…בונה אופרטיבי. במקצועו האזרחי היה הגנרל ארכיטקט, וגם…הוא היה בונה חופשי. בזמן שהותו בלבנט הקים קלבר את הלשכה המסונית הראשונה של מצרים (לשכת איזיס ב 1800), ואף שימש כנשיאה הראשון.

מי שחישב את המטר הצרפתי ע"פ היקף כדוה"א היה המתימטיקאי והפיזיקאי הצרפתי לה-פלאס. גם לה פלאס היה בונה חופשי. וליקינס, אשר חישב את המטר המבוסס על המטוטלת פעל לפני איחוד הלשכות באנגליה, כך שקשה להוכיח שהיה בונה חופשי, אך הקשר הרעיוני בין פרנסיס בייקון וחברי האגודה המלכותית לבין הבניה החופשית נחקר היטב ונחשב אמין.

התיזה, אם כן, היא שהמטר הוא יחידה שנבחרה לתאר את גיאומטרית הזמן-מרחב כבר בימי קדם. כלומר, המתימטיקה והטבע נראו כבר לקדמונים "יפים" יותר בשיטה המטרית, והם הביעו את התפעלותם בצורת הנדסת בניין (פירמידות). כדרכן של קונספירציות, אי אפשר לדעת אם הידע המצרי היה קיים בכלל, או שמא היה קיים, נעלם והומצא מחדש באירופה, או שהמטר והפילוסופיה של הטבע אותה הוא מייצג נשמרו כידע מקודש וסודי במשך הדורות. התשובה שמורה באבן. מה שבטוח הוא שהסוד יצא מהאבן, ובצירוף נסיבות היסטוריות, ידע זה נולד מחדש (רנסאנס) ונוסח בשפה מתימטית בתור "מדעי הטבע" ללא הצורך בסודיות. וכך המטר, יחד עם פילוסופית הטבע שהוא מגלם, הועמד לתועלת האנושות.